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二次函数与存在性问题

发布时间:2014-1-9 12:52:13 浏览次数：453

九年级数学第二轮复习教、学案

(共10课时，第8课时)

专题六：二次函数与存在性问题（二）

班级：　　　　　　姓名：　　　　　　时间：　　月　　日

一．说明

与二次函数有关的存在性问题通常是求抛物线上是否存在满足某些条件的点，其解法一般是根据该点既在抛物线上同时又要满足的条件列出方程或方程组来解，要注意的是，通常有多种情况，需要分类讨论．另外，要留心其取值范围，不合题意的，要舍去．

二．例题讲解

1． 如图，抛物线经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．

（１）求该抛物线的解析式；

（２）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（３）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

2．已知抛物线（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．

（１）求抛物线（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；

（２）如图（1），连接AB，在图（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（３）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

三．巩固练习

1．如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0)．

（１）求直线AB的函数关系式；

（２）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N． 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（３）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？

2． 如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点P，顶点为

C（1，－2）．

   （１）求此函数的关系式；

（２）作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；

（３）在（２）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．