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二次函数是一类十分重要的最基本的初等函数，也是初中数学的主要内容之一，它在中学数学中起着承上启下的作用，它与一元二次方程、一元二次不等式知识的综合运用，是初中代数的重点和难点之一．另外，二次函数在工程技术、商业、金融以及日常生活中都有着广泛的应用．通过对二次函数的学习，使我们能进一步理解函数思想和函数方法，提高分析问题、解决问题的能力．正确掌握二次函数的基本性质是学好二次函数的关键．
1．二次函数的图像及其性质
例1 (1)设抛物线y=2x2，把它向右平移p个单位，或向下移q个单位，都能使得抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点，求p，q的值．
(2)把抛物线y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到的抛物线经过点(1，3)与(4，9)，求p，q的值．
(3)把抛物线y=ax2＋bx＋c向左平移三个单位，向下平移两个单位 析式．
解 (1)抛物线y=2x2向右平移p个单位后，得到的抛物线为y=2(x-p)2．于是方程
2(x-p)2=x-4
有两个相同的根，即方程
2x2-(4p+1)x+2p2＋4=0
的判别式
△=(4p+1)2-4·2·(2p2＋4)=0，
 抛物线y=2x2向下平移q个单位，得到抛物线y=2x2-q．于是方程2x2-q=x-4
有两个相同的根，即
△=1-4·2(4-q)=0，
<font face=) 把y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，得到的抛物线为y=2(x+p)2＋q．于是，由题设得
解得p=-2，q=1，即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位．
解得h=3，k=2．原二次函数为
 说明 将抛物线y=ax2＋bx＋c向右平移p个单位，得到的抛物线是y=a(x-p)2＋b(x-p)＋c；向左平移p个单位，得到的抛物线是y=a(x＋p)2＋b(x＋p)＋c；向上平移q个单位，得到y=ax2＋bx＋c＋q；向下平移q个单位，得到y=ax2＋bx＋c-q．
例2 已知抛物线y=ax2＋bx＋c的一段图像如图3－7所示．
(1)确定a，b，c的符号；
(2)求a＋b＋c的取值范围．
解 (1)由于抛物线开口向上，所以a＞0．又抛物线经过点(0，-1)，
合a＞0便知b＜0．所以a＞0，b＜0，c＜0．
(2)记f(x)=ax2＋bx＋c．由图像及(1)知
 所以
a+b＋c=a＋(a-1)-1=2(a-1)，
-2＜a＋b＋c＜0．
例3 已知抛物线y=ax2-(a＋c)x+c(其中a≠c)不经过第二象限．
(1)判断这条抛物线的顶点A(x0，y0)所在的象限，并说明理由；
(2)若经过这条抛物线顶点A(x0，y0)的直线y=-x+k与抛物线的另一 解 (1)因为若a＞0，则抛物线开口向上，于是抛物线一定经过第二象限，所以当抛物线y=ax2-(a＋c)x+c的图像不
经过第二象限时，必有a＜0．又当x=0时，y=c，即抛物线与y轴的交点为(0，c)．因为抛物线不经过第二象限，所以
c≤0．于是
所以顶点A(x0，y0)在第一象限．
  在直线y=-x+k上，所以0=-1+k，所以k=1．又由于直线y=-x+1经过
-2x2+2x．
2．求二次函数的解析式
求二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式，需要三个独立的条件确定三个系数a，b，c．一般地有如下几种情况：
(1)已知抛物线经过三点，此时可把三点坐标代入解析式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组可得系数a，b，c．或者已知抛物线经过两点，这时把两点坐标代入解析式，得两个方程，再利用其他条件可确定a，b，c．或者已知抛物线经过某一点，这时把这点坐标代入解析式，再结合其他条件确定a，b，c．
(2)已知抛物线的顶点坐标为(h，k)，这时抛物线可设为
y＝a(x-h)2＋k，
再结合其他条件求出a．
(3)已知抛物线与x轴相交于两点(x1，0)，(x2，0)，此时的抛物线可设为
y=a(x-x1)(x-x2)，
再结合其他条件求出a．
例4 设二次函数f(x)=ax2＋bx＋c满足条件：f(0)=2，f(1)=-1，
解 由f(0)=2，f(1)＝－1，得
即c=2，b=-(a＋3)．因此所求的二次函数是
y＝ax2-(a＋3)x＋2．
由于二次函数的图像在x轴上所截得的线段长，就是方程ax2-(a＋3)x＋2=0两根差的绝对值，而这二次方程的两根为
于是
因此所求的二次函数表达式为
 例5 设二次函数f(x)=ax2＋bx+c，当x=3时取得最大值10，并且它的图像在x轴上截得的线段长为4，求a，b，c的值．
分析 当x=3时，取得最大值10的二次函数可写成f(x)＝a(x-3)2＋10，且a＜0．
解 因为抛物线的对称轴是x=3，又因为图像在x轴上截得的线段长是4，所以由对称性，图像与x轴交点的横坐标分别是1，5．因此，二次函数又可写成
f(x)=a(x-1)(x-5)
的形式，从而
a(x-3)2+10=a(x-1)(x-5)，
所以
例6 如图3－8，已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a＞0，b＜0)的图像与x轴、y轴都只有一个公共点，分别为点A，B，且AB=2，b＋2ac=0．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若一次函数y=x＋k的图像过点A，并和二次函数的图像相交于另一点C，求△ABC的面积．
解 (1)因二次函数的图像与x轴只有一个公共点，故b2-4ac＝0，而b+2ac=0，所以
b2＋2b=0，
b=-2(因为b＜0)．
点B的坐标为(0，c)，AB=2，由勾股定理得
所以 1＋a2c2=4a2．
因为ac=1，所以
4a2=2，
练习六
1．填空：
(1)将抛物线y=2(x-1)2+2向右平移一个单位，再向上平移三个单位，得到的图像的解析式为______．
(2)已知y=x2＋px＋q的图像与x轴只有一个公共点(-1，0)，则(p，q)=____．
(3)已知二次函数y=a(x-h)2＋k的图像经过原点，最小值为-8，且形
<font face=) 二次函数y=ax2＋bx＋c的图像过点A(-1，0)，B(-3，2)，且它与x轴的两个交点间的距离为4，
则它的解析式为________．
(5)已知二次函数y=x2-4x＋m＋8的图像与一次函数y=kx+1的图像相交于点(3，4)，则m=___，k=_____．
(6)关于自变量x的二次函数y=-x2＋(2m＋2)x-(m2+4m-3)中，m是不小于零的整数，它的图像与x轴交于点A和
点B，点A在原点左边，点B在原点右边，则这个二次函数的解析式为____．
2．设抛物线y=x2＋2ax＋b与x轴有两个不同交点．
(1)把它沿y轴平移，使所得到的抛物线在x轴上截得的线段的长度是原来的2倍，求所得到的抛物线；
(2)通过(1)中所得曲线与x轴的两个交点，及原来的抛物线的顶点，作一条新的抛物线，求它的解析式．
3．已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点为C．
若△ABC是等腰直角三角形，求b2-4ac的值；
(3)若b2-4ac=12，试判断△ABC的形状．
4．有两个关于x的二次函数C1：y=ax2＋4x＋3a和C2：y=x2+2(b＋2)x+b2+3b．当把C1沿x轴向左平移一个单位
后，所得抛物线的顶点恰与C2的顶点关于x轴对称，求a，b．
5．已知二次函数y＝x2-2bx+b2+c的图像与直线y=1-x只有一个公共点，并且顶点在二次函数y=ax2(a≠0)的图像
上，求a的取值范围．
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