因式分解——公式法（一）教学案例
曹冬祥
一、教学内容分析
因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它是因式分解方法的理论基础，也是本章中一个重要概念。同时，因式分解是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。
二、学生情况分析
技能基础：在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础．
活动经验基础：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验。
三、教学目标与重难点
（一）教学目标
1、知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义并会用平方差公式进行因式分解；使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式。
2、过程与方法：通过观察多项式的结构特点，探求发现用平方差公式法分解因式的方法，发展学生的观察能力和逆向思维能力，培养学生对平方差公式的运用能力。
3、情感、态度与价值观：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识。
（二）教学重点、难点
重点是灵活地运用平方差公式法因式分解。
难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
四、教学准备
实物投影仪、多媒体辅助教学。
五、教学过程
（一）练一练
活动内容：填空：
（1）（x+3）（x–3） = ；
（2）（4x+y）（4x–y）= ；
（3）（1+2x）（1–2x）= ；
（4）（3m+2n）（3m–2n）= ．
根据上面式子填空：
（1）9m2–4n2= ；
（2）16x2–y2= ；
（3）x2–9= ；
（4）1–4x2= ．
活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力。
注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系。
（二）想一想
活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？
结论：a2–b2=（a+b）（a–b）
活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征。
注意事项：学生对平方差公式的正确使用掌握的比较快，但用语言叙述第二组式子的左右两边的共同特征有一定的困难，必须在老师的指导下才能完成。
（三）做一做
活动内容：把下列各式因式分解：
（1）25–16x2 （2）9a2– 25/4b2
活动目的：培养学生对平方差公式的应用能力。
注意事项:学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难，学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误。
（四）议一议
活动内容：
将下列各式因式分解：
（1）9（x–y）2–（x+y）2 （2）2x3–8x
活动目的：
（1）让学生理解在平方差公式a2–b2=（a+b）（a–b）中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，向学生渗透换元的思想方法；
（2）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式。
注意事项：在教师的引导下，学生能逐步理解平方差公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式。
（五）反馈练习
活动内容：
1、判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）(x–y) ( )
（2）–x2+y2=–（x+y）(x–y) ( )
（3）x2–y2=（x+y）(x–y) ( )
（4）–x2–y2=–（x+y）(x–y) ( )
2、把下列各式因式分解：
（1）4–m2 （2）9m2–4n2
（3）a2b2－m2 （4）(m－a)2－(n＋b)2
（5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
3、在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积。
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏。
注意事项：在实际应用中，部分学生对于第3题因式分解的实际应用不能理解，他们没有采用因式分解的方法，而是利用计算器硬生生地计算出来。
（六）学生反思
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？
活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的平方差公式的与因式分解的平方差公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解。
注意事项：学生认识到了以下事实：
（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；
（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；
（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；
（4）因式分解必须彻底，也就是进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（七）课后练习：课本第56页习题2．4第1、2、3题