二次函数的图像和性质
一、 教材分析：
本章的主要内容是由实际问题建立二次函数模型、研究二次函数的三种表示方法和二次函数的图像及性质以及二次函数的简单应用 。研究过程从最简单的二次函数y=ax2（a≠0）的图像和性质开始，进入到y=a（x-h）2（a≠0）的图像和性质，最后研究二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像和性质，让学生借助图像发现二次函数的性质以及特征。
二． 学情分析
（1） 学生的年龄特点和认知特点
初三年级的学生性格比较开朗活泼，对新鲜事物比较敏感，有自己的个人判断，因此，在教学过程中创设问题情景，留给他们动手实践、观察思考、自主探究、合作交流、归纳猜想的时间和空间.让他们经历获取知识的过程.
（2）学生已具备的基本知识与技能
学生在八年级已经初步积累了函数知识和利用函数解决问题的经验。学生也具有一定的数学分析、理解能力。学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力。因此，在学习中，应多让学生动手实践、自主探究、合作交流，从而更好的体会到二次函数的特征。
三． 教学目标
（1） 知识性目标
a） 能够作出函数y=ax2（a≠0）、y=a（x-h）2（a≠0）、y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像
b） 能够正确说出函数y=ax2（a≠0）、y=a（x-h）2（a≠0）、y=a（x-h）2+k（a≠0）图像的开口方向、对称轴和顶点坐标
c） 能够理解图像的y=ax2（a≠0）、y=a（x-h）2（a≠0）、y=a（x-h）2+k（a≠0）单调性
（2） 能力与技能目标
a) 通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.
b) 经历探索二次函数的图像的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.
（3） 情感与价值观目标
a） 经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐 述自己的观点.
b） 让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的 过程和结果.
四． 教学重点、难点
a） 能够作出函数y=ax2（a≠0）、y=a（x-h）2（a≠0）、y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像
b） 能够正确说出函数y=ax2（a≠0）、y=a（x-h）2（a≠0）、y=a（x-h）2+k（a≠0）图像的开口方向、对称轴和顶点坐标
c） 能够理解图像的y=ax2（a≠0）、y=a（x-h）2（a≠0）、y=a（x-h）2+k（a≠0）单调性
五． 教学方法和教学手段
1、 教法分析
基于本章节内容的特点和九年级学生的心理特点，在教学中选择“情景教学法”、“引导探索法”和“研究性教学法”，通过创设问题情景，引导学生进行实际操作、观察探索、合作交流，亲身感受具体的二次函数，加深对二次函数的图像和性质的认识。
2、学法分析
学生是学习的主体，应在学习中充分发挥自己的主体能动作用，所以学生采用亲手实践、自主探究、合作交流、总结升华为主要形式的“探究性学习法”。
3.教学手段
课堂中以画图稿纸和多媒体课件为辅，通过亲自操作以及动感的画面，提高学生的学习兴趣，让学生积极而自主地获取知识，从而感受数学带来的快乐.
六、 教学过程设计
（一）引入新课：
1．让学生联系生活中的抛物线，从而体会数学来源与生活，数学和生活密切相关.
2．老师展示“NBA篮球比赛”视频，抽象出篮球的轨迹—抛物线，激发学习兴趣，数学无处不在；引入今天的新课：二次函数的图像及性质的研究.
（二）1．画出二次函数 y=x2、y=－x2 、y=2x2 －y=－2x2的图像．（图在课件上）
引导学生取值，使图像具有完整性。.
2． 观察二次函数y=x2、y=－x2 、 y=2x2、 y=－2x2的图像,回答下面问题．
（1）它们是轴对称图形吗？若是，请说出它们的对称轴．
（2）怎样列表才能保证描出的点具有对称性？对这个函数你应该怎么取点？
（3）这个图像有最高点（或最低点）吗？若有，它的坐标是多少？
（4）这个图像有怎样的开口方向？
3、总结：
抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向
y=x2 x=0（y轴） （0，0） 开口向上
y=2x2 x=0（y轴） （0，0） 开口向上
y=－x2 x=0（y轴） （0，0） 开口向下
y=－2x2 x=0（y轴） （0，0） 开口向下
（三）1．画出二次函数y=（x+1）2、y=－（x－1）2 、 y=2（x+1）2、 y=－2（x－1）2的图像．
学生对x取值可能仍是关于y轴对称地选取，以致不能完整地画出函数图像.
展示一个完整的图像，从而引导学生带着疑问学习.
2． 观察二次函数的y=（x+1）2、y=－（x－1）2 、 y=2（x+1）2、 y=－2（x－1）2的图像，回答下面问题。
（1）它是轴对称图形吗？若是，请说出它的对称轴．
（2）怎样列表才能保证描出的点具有对称性？对这个函数你应该怎么取点？
（3）这个图像有最高点（或最低点）吗？若有，它的坐标是多少？
（4）这个图像有怎样的开口方向？
3、总结：
抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向
y=（x+1）2 x=－1（x+1=0） （－1，0） 开口向上
y=2（x+1）2 x=－1（x+1=0） （－1，0） 开口向上
y=－（x－1）2 x=1（x－1=0） （1，0） 开口向下
y=－2（x－1）2 x=1（x－1=0） （1，0） 开口向下
（四）、 1．画出二次函数y=（x+1）2 －2 、y=－（x－1）2+1 、 y=2（x+1）2 －2、 y=－2（x－1）2+1的图像．
2． 观察二次函数y=（x+1）2 －2 、y=－（x－1）2+1 、 y=2（x+1）2 －2、 y=－2（x－1）2+1的图像，回答下面问题。
（1）它是轴对称图形吗？若是，请说出它的对称轴．
（2）怎样列表才能保证描出的点具有对称性？对这个函数你应该怎么取点？
（3）这个图像有最高点（或最低点）吗？若有，它的坐标是多少？
（4）这个图像有怎样的开口方向？
3、总结：
抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向
y=（x+1）2 －2 x=－1（x+1=0） （－1，－2） 开口向上
y=2（x+1）2 －2 x=－1（x+1=0） （－1，－2） 开口向上
y=－（x－1）2+1 x=1（x－1=0） （1，1） 开口向下
y=－2（x－1）2+1 x=1（x－1=0） （1，1） 开口向下
（五）给学生提出：对称轴、顶点坐标和开口方向怎么由表达式确定？
猜测：下面各抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向.
y=(x－3)2+16， y=3(x－3)2+18； y=－(x+3)2+1； y=－5(x+1)2－13.
总结二次函数y=a（x－h）2＋k（a≠0）的性质：
抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向
y= a (x－ h)2+k (a>0) x=h（x－h=0） (h，k) 向上
y= a ( x－h)2+k (a<0) x=h（x－h=0） (h，k ) 向下
安排应用上面结论的练习：
不画图像，指出下面各抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向.
y=0.5(x－4)2+23； y=－3(x－3.6)2+18； y=(x+6)2+14； y=－27(x+11)2－13
（六）二次函数的单调性研究：
1．观察上面三次动手操作活动，得出的图像，回答下面问题：
对于二次函数y= a (x－ h)2+k
当a>0时，
（1）在对称轴的左侧（即x<h）， 当x增大时，y的变化情况？
（2）在对称轴的右侧（即x>h），当x增大时，y的变化情况？
当a<0时，
（1）在对称轴的左侧（即x<h）， 当x增大时，y的变化情况？
（2）在对称轴的右侧（即x>h），当x增大时，y的变化情况？
用看图，填表的形式，让学生自己总结
对于函数的增减性，学生比较容易得到结果；通过观察几何画板课件，自主总结性质。
例题演示，巩固知识，规范格式
例1. 画出二次函数 y=－2(x+1)2+3的图像．
先让学生根据性质，得到它的对称轴，然后在对称轴的两侧对称着取点；
学生画图完成后；
老师呈现规范的步骤，结果：
⑴ 列表
x －4 －3 －2 －1 0 1 2
y=－2(x+1)2+3 －15 －5 1 3 1 －5 －15
⑵ 描点
⑶ 连线（图在课件上） 利用得到的性质，规范的画函数图像.
设置练习，巩固知识 课堂练习
畅谈收获 谈谈你的收获…
1、画y=a（x－h）2+k（a≠0）的图像，列表时：在对称轴x=h两侧对称取点.
2、y=a（x－h）2＋k（a≠0）具有以下性质：
抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向
y= a (x－ h)2+k (a>0) x=h（x－h=0） (h，k) 向上
y= a ( x－h)2+k (a<0) x=h（x－h=0） (h，k ) 向下
3、对于抛物线 y =a（x－h）2＋k（a≠0），从图像上可以看出：
当a>0时，在对称轴的左侧（即 x<h时），y随x的增大而减小，在对称轴的右侧（即 x>h时），y随x的增大而增 大;
当a<0时，在对称轴的左侧（即 x<h时），y随x的增大而增大，在对称轴的右侧（即 x>h时），y随x的增大而减小.
师生合作小结，培养学生归纳和概括的能力，帮助学生梳理知识脉络，回顾自己在本节课学习中的收获、困难和需要改进的地方.
（七）作业