树形架构梳理知识 脉状布局渗透方法
发布时间:2014-1-15 8:46:07 浏览次数：388
树形架构梳理知识 脉状布局渗透方法
——一节“反比例函数”复习课设计及其思考
今学年，初三年级不再补课，教学时间明显缩短，对采取以“时间堆积、题海堆积、考试堆积”为主要特点进行初三数学总复习的部分老师来讲，这种复习方式显然是难以做到的。初三总复习教学的目的是通过知识的梳理，让学生学会主动地建构知识体系，并学会从系统的角度理清知识间的逻辑关系，通过方法的渗透和体验，让学生学会运用数学思想方法解决问题。要达成以上复习目标，做为初三数学老师，在总复习阶段尤其要做好、做优“五精三动一延伸”（精备课、精讲课、精练习、精讲评、精检测，动口、动手、动脑，适度课外延伸），在整个总复习期间强化学生的参与面和参与度。现以“反比例函数”内容为题设计一节初三数学总复习教学案例，与初三数学老师们交流，为今学年的初三数学总复习提供一个参考。
一、课前准备：两情一研一对策
（一）学情准备
由于初三总复习是在学生学完全部初中数学内容后进行的，学生对初二下学期学习的反比例函数内容难免有所遗忘；其次，初三的数学教师大部分不是从初一跟班上的，再者初三学生是经过初一初二多次调整分班组合的，为了更准确地把握复习教学起点，避免“炒冷饭”，在授课前很有必要对所任班级学生的反比例函数学习水平进行课前检测（检测题如下表）。检测题所包含知识点有：反比例函数解析式，反比例函数的性质，综合运用反比例函数知识及数形结合思想、函数建模思想等解决一些问题。
课前调研检测试题
1.若反比例函数的图象经过点（-2，3），则此函数图象也经过点（ ）
A.（2，-3）B.（-3，-3）C.（2，3）D.（-4，6）
2.已知反比例函数 3.已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）,是反比例函数
的图象画出一个面积为4的图形。
5.如图，反比例函数 6.如图，已知A（-4，n）,B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数
（2）直线AB与x轴的交点C的坐标是 ，△AOB的面积是 ；
（3）方程kx+b- ＜0的解集是 ；
7. 1、数学课程标准对“反比例函数”要求
（1）结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。
（2）能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式 （3）能用反比例函数解决简单实际问题。
2、2011年江西省数学中考说明对“函数”要求
(1)能探索简单、具体问题中的数量关系和变化规律。
(2)了解常量、变量的意义，了解函数的概念和三种表示方法。
(3)能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析，能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。
(4)能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值。
(5)结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。
(6)了解一次函数(正比例函数)、反比例函数、二次函数的意义，根据已知条件确定一次函数(正比例函数)、反比例函数、二次函数的表达式。
(7)会画一次函数(正比例函数)、反比例函数、二次函数的图象，根据一次函数(正比例函数)、反比例函数、二次函数的图象和解析表达式理解其性质，会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆)。
(8)能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
(9)能用一次函数(正比例函数)、反比例函数、二次函数解决简单的实际问题。
3、中考研读
(1)中考对反比例函数知识点的考查
2011、2012年部分省市课标中考涉及反比例函数知识点所占比例约为3-5%。
(2)江西历年中考对反比例函数知识点的考查
| x |
| 04年 |
| y |
| P |
| D |
| O |
（03年）反比例函数
上的一点，PD⊥
和频率
和频率
，这说明波长
就越 。
（06年）近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜片的焦距为0. 25m，则y与x的函数是关系式为 。
（07年）对于反比例函数 在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限
C．当 随
时，
的增大而减小
（08年）下列四个点，在反比例函数 ) B．（2，4） C．（3，
，
（09年）函数
的坐标为
时，
时，
逐渐增大时，
的增大而增大，
的增大而减小． 其中正确结论的序号是 ．
（10年）如图，反比例函数y＝ 图象的对称轴的条数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（11年）如图，在△ABO中，已知A(0，4)，B(－2，0)， D为线段AB的中点.
| 09年 |
| O |
| | x |
| A |
| B |
| C |
| | | y |
（1）求点D的坐标；（2）求经过点D的反比例函数解析式。
| x |
| y |
| O |
| 10年 |
（12年）如图,等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中,已知A(-2,0)、B（6，0）、D（0，3），反比例函数的图象经过点C.
(1)求点C坐标和反比例函数的解析式;
(2)将等腰梯形ABCD向上平移 的值.
（00年）如图，已知C、D是双曲线 （2）若∠BOC=∠AOD=α，tga=
，求直线CD的解析式；（3）在（2）的条件下，双曲线上是否存在一点P，使得S△poc=S△pod？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由。
（三）中考命题趋势及复习对策
函数是数学中最重要的内容之一，题型以中低档的填空题和选择题为主，兼有中档的解答题，较少出现大的综合题，其中反比例函数的初步知识是每年的必考知识点，试题多以填空题和选择题的形式出现，重点考查基础概念、方法，反比例函数与其它内容的综合题越来越多．
针对中考命题趋势，在复习时应首先理解反比例函数概念，数形结合，掌握其质及图象，复习时要对照一次函数、反比例函数的性质去学，注意两种函自的区别和联系，此外对于反比例函数实际应用、与其它内容小综合应多加练习．
综上“学情”、“知请”所得，从学生起点出发，构建如下的课堂教学框架：
站在系统的角度认识反比例函数→运用数形结合思想，进一步理解反比例函数的性质→运用反比例函数的性质和数学思想方法解决问题。
二、教与学过程：精设计，以点带面重知识、思想方法体系构建
（一）教学目标、重难点
1.理解反比例函数的概念，会求反比例函数解析式；
2.理解并掌握反比例函数图象与性质，能运用反比例函数图象与性质解决有关函数值比较大小问题；
3.会用反比例函数解决某些实际问题，体会函数的应用价值；
4.在解决问题过程中，体会数形结合思想在解决函数问题中作用，提高利用函数思想探究问题的积极性．
5.重点：反比例函数的图象性质与数形结合思想；难点：反比例函数增减性的理解，反比例函数的应用。
（二）站在系统的角度认识反比例函数
1、以变式问题串为方式，以生为主进行知识梳理（归纳填表）
| 表达式 | 请写出反比例函数表达式： ； 还有哪些形式？ | |
| 图 象 | k>0 | k<0 |
| 画出图象： | 画出图象： | |
| 性 质 | 1．图象在第 、 象限； 2．每个象限内，函数y的值随x的增大而______________． | 1．图象在第 、 象限； 2．在每个象限内，函数y值随x的增大而________________． |
| 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S２则S1和S２有何关系？ S1= ，S２= 。则矩形的面积S= |y|·|x|=|xy|=|k|。 | ||
| 反比例函数既是 图形，又是 图形。 | ||
问题1：以下表格列出了几个函数的两个变量之间的关系，你认为哪一个可能表示反比例函数？表1、表二
| x | … | 1 | 2 | 3 | … |
| y | … | 3 | 2 | 1 | … |
| x | … | 1 | 2 | 3 | … |
| y | … | 10 | 5 | 2 | … |
表三
| x | … | 1 | 2 | 3 | … |
| y | … | 6 | 3 | 2 | … |
问题2：如果表三可能（因为还有多对值无法从表格中看出）是反比例函数，你能写出这个反比例函数解析式吗？
问题3：你能画出 ，你能说出它的哪些性质？让学生借助图象解决反比例函数增减性。
变式练习1：已知反比例函数 ，
从图形的对称性来看还有哪些性质？如果是中心对称图形，你能从“形”的角度证明吗？
说明：学生会用“数”的方法说明反比例函数是中心对换图形，但由于当时学习反比例函数的内容时，学生还未学过相似三角形的性质、判定等知识，所以教师一般也不会提及用“形”的方法来说明反比例函数是中心对称图形。通过复习让学生站在更高的角度来理解以前学过的内容，从而达到对知识的融会贯通。
（四）探索比例系数k的几何意义
在梳理了反比例函数的单调性、对称性的基础上，继续探索比例系数k的几何意义。
问题6：你能借用反比例函数
变式练习1：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数 变式练习2：如图，点A在反比例函数
（k＜0）的图象上，且∠AOB=90°，tan∠OAB=
的图象画出面积为6的图形”进行探究，在教师的引导下，从点的个数的改变点的位置的变化，从点的位置的改变到双曲线分支位置的变化，从双曲线分支位置的改变到双曲线条数的改变，这一系列的问题探究都是随着事态的发展自然的，把原来多个单独的求图形面积问题自然地按一定的思维序列串起来，让学生在探究的过程中学会条理地思考和解决问题。这样在探究过程中经历了图形的构造过程，从本质上理解图形的结构(从而轻松地完成练习3、4)，潜移默化地渗透化归、数形结合等数学思想方法。
（五）利用反比例函数解决问题
1、03、07、08、10、09、04年江西省数学中考有关反比例函数试题（见上）。
说明：主要是对反比例函数基本性质运用。
2、11、12、00年江西省数学中考有关反比例函数试题（见上）。并合理对11、12年试题进行适当变式，如对11年可将线段AB绕点O顺时针旋转180度，则中点D是否在反比例函数图象上；对12年试题可将梯形改为平行四边形等。
的图像相交于A(-1,2)、B(2,n)两点，
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数解析式；
（2）根据图像写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
(3) 求△AOB的面积。
说明：主要是针对反比例函数性质、数学思想方法综合运用。
3、05、06年江西省数学中考有关反比例函数试题（见上）。
| （火炬） |
| y |
| M |
| x |
| N |
| A |
| T |
| B |
| O |
| 奥林匹克广场 |
| 北 京 路 |
| 鲜花 方阵 |
| （指挥部） |
| 奥运路 |
另：如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递．动点
B
| C |
| D |
| A |
5.在同一坐标系中，函数 的图像大致是 （ ）
6.已知直线 的一个交点A的坐标为（-1，-2）．则k =_____；m=____；它们的另一个交点坐标是______．
7.矩形面积为4，它的长 之间的函数关
8.根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p(pa)与它的体积v(m3)的乘积是一个常数k，即pv＝k(k为常数，k＞0)，下列图象能正确反映p与v之间函数关系的是（ ）。
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（二）拓展提升
8. 已知点A（ ）是反比例函数
）图象上的两点，
若 B．
D．
9. 已知反比例函数
，
，
，则
10. 已知点
11.已知，点A在第二象限内，且为双曲线
12．已知一次函数
的图象交于A，B两点，且A点的横坐标与B点的纵坐标都是
的图象画面积为6的图形”展开教学设计，学生围绕问题的解决构造了许多图形。也正是在构造的过程中找到了图形构造的“序”： 从点的个数的改变到点的位置的变化，从点的位置的改变到双曲线分支位置的变化，从双曲线分支位置的改变到双曲线条数的改变，从而熟悉了图形的结构学会了分解图形，轻松解决了课前检测中遇到了难题。
知识像是节节生长的树，树形架构梳理知识，就是把书从厚变薄的过程；思想方法像是解决问题的根，它应像脉络一样遍布全身，才能以不变应万变。